Streifenprojektionsmengen und Fenster

Wir wollen nun das cut-and-project-Verfahren auf höhere Dimensionen verallgemeinern: Seien ein kubisches Gitter im , und orthogonale Unterräume, die zusammen den aufspannen, und und die Projektoren in diese Unterräume:

Die Unterräume seien derart gewählt, daß die Projektoren und , eingeschränkt auf das Gitter , bijektiv und die Bilder von unter den Projektionen, und , dichte -Moduln sind.

Im Falle eines primitiven Gitters umfassen diese Moduln genau die ganzzahligen Linearkombinationen der jeweiligen Basisvektoren. Die Moduln sind abzählbare Mengen und damit nicht vollständig. Sie sind jedoch dichte Mengen in dem Sinne, daß jede -Kugel um einen Modulpunkt weitere Modulpunkte enthält. Da und bei Einschränkung auf bijektiv sind, läßt sich die Abbildung von nach definieren. Die Projektionen eines Gitterpunktes werden jeweils mit und bezeichnet. Ich bezeichne die Komponenten von x als die hochdimensionalen Koordinaten von x, die Komponenten von als die ``parallelen'' bzw. ``physikalischen'' und die Komponenten von als die ``senkrechten'' bzw. ``internen'' Koordinaten.
Zur Beschreibung von Quasigittern bzw. atomaren Strukturen soll nun der Unterraum dienen. Die Punkte aus beschreiben mögliche Vertex- oder Atompositionen. Wir lassen also keine allgemeinen Vektoren aus mehr als Atomkoordinaten zu, allerdings läßt sich jeder reelle Vektor beliebig gut durch Modulpunkte approximieren.
Um Delonemengen zu erzeugen, müssen nun aus dem Modul gewisse Punkte ausgewählt werden. Zu diesem Zwecke verwendet man Mengen im senkrechten Raum , sogenannte Fenster.
Definition (Fenster):
Eine Menge heißt Fenster genau dann, wenn gilt:

1. ist kompakt und nicht leer.
2. 
3. Das Lebesguemaß des Randes ist 0.

Definition (Streifenprojektionsmenge):
Sei ein Fenster. Dann ist die mit aus erzeugte Streifenprojektionsmenge (SPM) definiert als

Diejenigen Modulpunkte, deren senkrechte Koordinaten im Fenster liegen, bilden die SPM. Umgekehrt werden die in verstreuten Punkte der SPM durch die Abbildung in eine kompakte Menge in abgebildet. Gleichbedeutend mit ``SPM'' verwende ich auch die Bezeichnung Quasigitter.
Die Punkte mit heißen singulär, bilden eine Menge vom Maße 0 und werden im folgenden vernachlässigt.
Die Dualisierungsmethode, ein analoges Verfahren zur Erzeugung quasiperiodischer Tilings ist in Anhang A geschildert. Die Vertizes eines derart erzeugten Tilings bilden wiederum ein Quasigitter.