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Streifenprojektionsmengen und Fenster

Wir wollen nun das cut-and-project-Verfahren auf höhere Dimensionen verallgemeinern: Seien tex2html_wrap_inline4901 ein kubisches Gitter im tex2html_wrap_inline4833, tex2html_wrap_inline4887 und tex2html_wrap_inline4889 orthogonale Unterräume, die zusammen den tex2html_wrap_inline4833 aufspannen, und tex2html_wrap_inline4897 und tex2html_wrap_inline4899 die Projektoren in diese Unterräume:
displaymath250
Die Unterräume seien derart gewählt, daß die Projektoren tex2html_wrap_inline4897 und tex2html_wrap_inline4899, eingeschränkt auf das Gitter tex2html_wrap_inline4901, bijektiv und die Bilder von tex2html_wrap_inline4901 unter den Projektionen, tex2html_wrap_inline4905 und tex2html_wrap_inline4907, dichte tex2html_wrap_inline4823-Moduln sind.
displaymath260
Im Falle eines primitiven Gitters tex2html_wrap_inline4901 umfassen diese Moduln genau die ganzzahligen Linearkombinationen der jeweiligen Basisvektoren. Die Moduln sind abzählbare Mengen und damit nicht vollständig. Sie sind jedoch dichte Mengen in dem Sinne, daß jede tex2html_wrap_inline4981-Kugel um einen Modulpunkt weitere Modulpunkte enthält. Da tex2html_wrap_inline4897 und tex2html_wrap_inline4899 bei Einschränkung auf tex2html_wrap_inline4901 bijektiv sind, läßt sich die Abbildung tex2html_wrap_inline4989 von tex2html_wrap_inline4905 nach tex2html_wrap_inline4907 definieren. Die Projektionen eines Gitterpunktes tex2html_wrap_inline4995 werden jeweils mit tex2html_wrap_inline4997 und tex2html_wrap_inline4999 bezeichnet. Ich bezeichne die Komponenten von x als die hochdimensionalen Koordinaten von x, die Komponenten von tex2html_wrap_inline4997 als die ``parallelen'' bzw. ``physikalischen'' und die Komponenten von tex2html_wrap_inline4999 als die ``senkrechten'' bzw. ``internen'' Koordinaten.
Zur Beschreibung von Quasigittern bzw. atomaren Strukturen soll nun der Unterraum tex2html_wrap_inline4887 dienen. Die Punkte aus tex2html_wrap_inline4905 beschreiben mögliche Vertex- oder Atompositionen. Wir lassen also keine allgemeinen Vektoren aus tex2html_wrap_inline5013 mehr als Atomkoordinaten zu, allerdings läßt sich jeder reelle Vektor beliebig gut durch Modulpunkte approximieren.
Um Delonemengen zu erzeugen, müssen nun aus dem Modul tex2html_wrap_inline4905 gewisse Punkte ausgewählt werden. Zu diesem Zwecke verwendet man Mengen im senkrechten Raum tex2html_wrap_inline4889, sogenannte Fenster.
Definition (Fenster):
Eine Menge tex2html_wrap_inline5019 heißt Fenster genau dann, wenn gilt:

  1. tex2html_wrap_inline5021 ist kompakt und nicht leer.
  2. tex2html_wrap_inline5023
  3. Das Lebesguemaß des Randes tex2html_wrap_inline5025 ist 0.
Definition (Streifenprojektionsmenge):
Sei tex2html_wrap_inline5019 ein Fenster. Dann ist die mit tex2html_wrap_inline5021 aus tex2html_wrap_inline4901 erzeugte Streifenprojektionsmenge (SPM) definiert als
equation287
Diejenigen Modulpunkte, deren senkrechte Koordinaten im Fenster liegen, bilden die SPM. Umgekehrt werden die in tex2html_wrap_inline4887 verstreuten Punkte der SPM durch die Abbildung tex2html_wrap_inline5037 in eine kompakte Menge in tex2html_wrap_inline4889 abgebildet. Gleichbedeutend mit ``SPM'' verwende ich auch die Bezeichnung Quasigitter.
Die Punkte mit tex2html_wrap_inline5041 heißen singulär, bilden eine Menge vom Maße 0 und werden im folgenden vernachlässigt.
Die Dualisierungsmethode, ein analoges Verfahren zur Erzeugung quasiperiodischer Tilings ist in Anhang A geschildert. Die Vertizes eines derart erzeugten Tilings bilden wiederum ein Quasigitter.


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