Beziehungen zwischen den Koordinatenräumen

 

Die Abbildung besitzt folgende wichtige Eigenschaften:

• und ebenso sind überall unstetig: Punkte, die im Fenster sehr nahe beisammen liegen, können im physikalischen Raum beliebig weit voneinander entfernt sein.
• Punkte, die im Fenster nahe beisammen liegen, haben im physikalischen Raum im allgemeinen gleiche lokale Umgebungen. Je näher im Fenster, desto größer die übereinstimmende lokale Umgebung.
• Linearität:
• Mengenoperationen wie Vereinigung, Schnitt oder Komplementbildung kommutieren mit .
• Relative Volumina von Fenstern sind identisch mit den relativen Häufigkeiten der durch sie erzeugten Punkte. Punktdichten im physikalischen Raum sind für ein primitiv-kubisches Gitter mit hochdimensionaler Gitterkonstante A gegeben durch V und lassen sich so elementargeometrisch berechnen. (Beweis siehe [Schlott93])
• Das Quadrat der Fouriertransformierten einer SPM ist ein dichtliegendes Punktspektrum, dessen Intensitäten durch die Fouriertransformierte der charakteristischen Funktion des Fensters gegeben ist. Dies ist in [Hof97] beschrieben.

Ein praktischer Vorteil dieser Beschreibung: Von dreidimensionalen Quasigittern sind nur endliche Ausschnitte darstellbar, und auch diese sind in Abbildungen schlecht zu erkennen. Das Fenster dagegen läßt sich als kompakte Menge gut grafisch darstellen.