Ein wichtige Eigenschaft von Strukturen wie Punktmengen oder
Funktionen ist ihre Punktgruppe, also die Gruppe der Drehungen
und Drehspiegelungen um einen festen Punkt, die die Struktur in
sich überführen.
Dieses Konzept wollen wir nun erweitern: Wir sprechen von der
verallgemeinerten Symmetriegruppe einer Struktur, wenn jeder
Ausschnitt aus der Struktur sich nach der Anwendung eines
Gruppenelementes und einer geeigneten Verschiebung
in der ursprünglichen Struktur wiederfindet, wenn die Struktur also
auf eine Struktur derselben LI-Klasse abgebildet wird. Das Tübinger
Dreiecksmuster aus Abbildung 2 besitzt beispielsweise eine
zehnzählige verallgemeinerte Drehsymmetrie, ohne eine tatsächliche
zehnzählige Drehsymmetrie aufweisen zu müssen.
Ein Quasikristall hat im allgemeinen eine kleinere Punktgruppe als
sein Beugungsbild. Die Lauegruppe, die Punktgruppe des Beugungsbildes,
gibt vielmehr die Punktgruppe der Paarkorrelationsfunktion der Struktur
wieder. Bis auf eventuell die Inversionssymmetrie stimmt diese mit der
verallgemeinerten Symmetriegruppe der Struktur überein.