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Lokale Isomorphie und lokale Ableitbarkeit

Nun werden zwei Klassifikationskonzepte vorgestellt, die jeweils Beziehungen zwischen Tilings ausdrücken (siehe auch [Baa95]): Zwei Tilings heißen lokal isomorph , wenn jeder beliebig große Ausschnitt des einen Tilings irgendwo im anderen zu finden ist und umgekehrt. Die Tilings, die lokal isomorph zu einem gegebenen Tiling sind, bilden dessen lokale Isomorphieklasse (LI-Klasse). Für die Beschreibung ``wirklicher'' Quasikristalle ist es gleichgültig, welchen Vertreter einer LI-Klasse man betrachtet, da bei einer endlichen Ausdehnung der Probe jedes Tiling der LI-Klasse diese Struktur als Ausschnitt enthält.
Eine andere Beziehung zwischen Tilings wird durch die lokale Ableitbarkeit beschrieben: Man kann ausgehend von einem Tiling andere Tilings erzeugen, indem man Konfigurationen von Tiles durch andere Tiles oder Konfigurationen ersetzt. Gibt es lokale Regeln, also Ersetzungsvorschriften für gleichmäßig endliche Bereiche, die dies leisten, so heißen diese Tilings lokal ableitbar aus dem ersten. Lokale Ableitbarkeit kann dazu verwendet werden, um Beweise von einem Tiling auf ein anderes zu übertragen. Außerdem lassen sich Delonemengen und Tilings lokal auseinander ableiten, was den Wechsel zwischen diesen beiden Konzepten ermöglicht.