Delonemengen und Tilings

Die Struktur von Festkörpern wird idealisiert als eine Menge von Kernpositionen angegeben. Wie das Beispiel der Gläser zeigt, braucht es sich bei Festkörpern weder um stabile Phasen noch um periodische Strukturen zu handeln: Wir wollen nur fordern, daß die Strukturen weder zu kleine Kernabstände (``hardcore condition'') noch zu große Leerräume aufweisen sollen. Diese Voraussetzungen sind in der mathematischen Begriffsbildung der Delonemenge wiedergegeben:
Definition: (Delonemenge)
Eine Punktmenge ist eine Delonemenge genau dann, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. ist gleichmäßig diskret, d.h. es gibt einen Minimalradius r , sodaß sich in jeder r-Kugel um einen beliebigen Punkt aus höchstens ein Punkt aus befindet.
2. ist relativ dicht, d.h. es gibt einen Maximalradius R, sodaß sich in jeder R-Kugel um einen beliebigen Punkt aus mindestens ein Punkt aus befindet.

Eine Verallgemeinerung der periodischen Anordnung von Elementarzellen stellen Tilings dar:
Definition(Tiling):
Ein Tiling ist eine Überdeckung eines Raumes durch Mengen, die homöomorph zu Kugeln sind (``Tiles''), ohne Lücken und Überlappungen, abgesehen von den Rändern der Tiles, die eine Menge vom Maße 0 bilden sollen.
Die Tiles können als verallgemeinerte Elementarzellen gelten, von denen es im Allgemeinen mehrere Sorten (``Prototiles'') gibt und die nicht periodisch angeordnet sein müssen. Als Beispiel für ein quasiperiodisches Tiling ist in Abbildung 2 ein Ausschnitt aus dem zweidimensionalen Tübinger Dreiecksmuster zu sehen, einem zehnzähligen Tiling aus ``goldenen'' Dreiecken, das in [Baa90] beschrieben ist.