Für die Einbettung der Ikosaedergruppe in die hyperoktaedrische
Gruppe des 
wählen wir als Basisvektoren sechs unabhängige Ecken
des Ikosaeders, wie in Abbildung 2.5 gezeigt.
Abbildung 2.5: Die ikosaedrischen Basisvektoren 
Bezüglich dieser Einbettung der Ikosaedergruppe zerfällt der
in zwei dreidimensionale invariante Unterräume 
und 
, von
denen als
physikalischer Raum gedeutet wird.
Aus der Wahl der Basisvektoren folgen die Projektoren in die
Unterräume und . Bei Einschränkung auf ein kubisches
Gitter 
sind diese Abbildungen bijektiv,
ebenso die Abbildung 
von 
nach 
.
Wir betrachten im folgenden das sechsdimensionale
hyperkubisch-raumzentrierte Gitter. Es zerfällt in das Untergitter
und die drei Nebenklassen bezüglich 
:
kann als ``flächenzentriert'' mit Kantenlänge 2
gedeutet werden und trägt in anderen Arbeiten die Namen 
oder
2F-Gitter. Die Vereinigung von und 
ergibt das primitive Gitter mit Kantenlänge 1. Die vier Gitter
werden durch 
(
) jeweils
bijektiv auf einen 2F-Modul 
(
) abgebildet. Alle vier Moduln besitzen die volle
Ikosaedersymmetrie (Punktgruppe 
). Sie haben paarweise
verschwindende Schnittmengen. Der Modul 
ist
invariant gegenüber Skalierung um 
, die anderen drei werden
durch -Skalierung (siehe Anhang A)
folgendermaßen aufeinander abgebildet:
-Skalierung im physikalischen Raum wirkt sich im internen Raum
als 
-Skalierung aus. Die Klassenzugehörigkeit der Summe oder
Differenz von Punkten ergibt sich aus der
Klassenaddition +:
Um die ikosaedrischen F-Phasen-Quasikristalle zu modellieren, werden
wir, von einem Untergitter ausgehend, Fenster für drei der
Untergitter konstruieren. Die Struktur ergibt sich dann als
Vereinigung der drei mit diesen Fenstern erzeugten Unterquasigitter