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Das Momentetheorem

 

Das Momentetheorem für Tight-Binding-Modelle geht auf Friedel sowie Cyrot-Lackmann zurück. Ich folge der Darstellung in [Pettifor]. Die Verteilung der Eigenwerte tex2html_wrap_inline6329 eines Graphen G (bei Entartung werden Eigenwerte hier mehrfach gezählt) läßt sich charakterisieren durch ihre Momente tex2html_wrap_inline6339. In diesem Fall sind dies gleichzeitig die zentralen Momente.
tex2html_wrap_inline6341 sei diagonal, j indiziere die kanonischen Basiszustände des Vektorraums von G, i indiziere eine Menge linear unabhängiger Eigenzustände von A. Dann läßt sich das n-te Moment folgendermaßen umschreiben:
eqnarray1262
Es ist also in erster Linie die Spur über die n-te Potenz der Inzidenzmatrix, die sich für diese Matrizen durch geschlossene Pfade ausdrücken läßt: Das n-te Moment tex2html_wrap_inline6351 ist also bestimmt durch die Anzahl geschlossener Pfade tex2html_wrap_inline6353 der Länge n auf G. Durch Abzählen solcher Pfade lassen sich Eigenschaften des Spektrums bestimmen. Das nullte Moment tex2html_wrap_inline6357 ergibt die Anzahl der Vertizes, also auch der Eigenwerte (bei Entartung wieder mehrfach gezählt). Weiter betrachtet man am besten die normierten Momente tex2html_wrap_inline6359. Das erste normierte Moment ist die mittlere on-site-Energie, in diesem Fall 0. tex2html_wrap_inline6361, die Varianz des Spektrums, ist gegeben durch die mittlere Zahl der 2-Pfade, also den mittleren Grad von G (die Koordinationszahl). tex2html_wrap_inline6363, die Schiefe des Spektrums, ergibt sich aus den geschlossenen 3-Pfaden, und tex2html_wrap_inline6365, die Bimodalität, aus den geschlossenen 4-Pfaden.
Leider ist eine Funktion erst durch die Angabe aller Momente eindeutig bestimmt. Um von wenigen bekannten Momenten auf die DOS zu schließen, kann man an die DOS die Forderung maximaler Entropie stellen und die bekannten Momente als Nebenbedingungen betrachten. Dies führt bei Vorgabe von N Momenten auf die Form tex2html_wrap_inline6369 mit einem Polynom Nter Ordung p[x], ein Problem, das nur numerisch gelöst werden kann.