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Der Vergleich mit anderen Modellen

Die Fenster aus 5 lassen sich gut mit experimentell bestimmten Fenstern der französischen Gruppen Katz, Gratias et al. und Boudard, die Boissieu et al. vergleichen. Dies ist natürlich äquivalent zu einem Vergleich der Modelle im physikalischen Raum. Eine Schwierigkeit ist beim Vergleich zu beachten: die Zuordnung der Fenster zu den Punktklassen hängt von der Wahl der Basis ab, die ein bestimmtes Skalierungsverhalten nach sich zieht, und außerdem von der Wahl des Gitternullpunktes. Ich ordne die Fenster der anderen Gruppen den Klassen so zu, wie es der hier verwendeten Konvention entspricht. In diesem Abschnitt ist wiederum nur von den geometrischen Strukturen die Rede, die chemische Ordnung in den Modellen ist in Anhang B besprochen.
Katz und Gratias machen für ihr Modell folgende Annahmen: Die Fenster sind ikosaedersymmetrische Polytope mit homogener Punktdichte, und sie sollen die hardcore und die closeness condition erfüllen. Damit müssen sie von zweizähligen Flächen begrenzt sein. In [Katz92] werden für i-AlCuFe folgende Fenster vorgeschlagen (siehe Abbildung 5.8):

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Abbildung: Die Fenster von Katz und Gratias für c-, b- und q-Punkte  

Katz und Gratias berichten für dieses Modell eine gute Wiedergabe ihrer Beugungsdaten. Die Fenster für Elsers Modell, wie in Abschnitt 5 dargestellt, weisen eine große Ähnlichkeit mit denen von Katz und Gratias auf. Aus den Unterschieden der Fenster folgen die Unterschiede der Modelle im physikalischen Raum: bei Katz und Gratias ist die Auswahl der tex2html_wrap_inline5415- und tex2html_wrap_inline5417-Punkte durch die Fenster festgelegt, sie sind also über große Entfernungen streng korreliert. Außerdem kommt es vor, daß die Wahl der tex2html_wrap_inline5417-Positionen beide möglichen Positionen für ein tex2html_wrap_inline5415-Atom ausschließt. Dies führt zu einer etwas verminderten Dichte.
Boudard und de Boissieu [Bou92], [Boi94] haben an ihre Beugungsdaten für i-AlPdMn, kugelförmige Fenster angepaßt, die in erster Linie das Volumen der tatsächlichen Fenster wiedergeben sollen, dabei aber die hardcore condition verletzen. Ebenso wie im Modell von Katz und Gratias ist hier nicht an Unordnung im Sinne eines Random Tilings gedacht. Ein Vergleich der Volumina in Einheiten von 30K ergibt eine relativ gute Übereinstimmung zwischen den drei Modellen:
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Elsers Modell ergibt eine Dichte von ca. 69.12 Atomen/nmtex2html_wrap_inline6103 für AlCuFe und 64.85 Atomen/nmtex2html_wrap_inline6103 für AlPdMn. Zum Vergleich: Aluminium in fcc-Struktur mit Gitterkonstante 0.404 nm enthält ca. 60.66 Atome/nmtex2html_wrap_inline6103.

Das Modell von C. Janot [Jan97] für i-AlPdMn beruht auf der einer Anordnung atomarer Mackaycluster auf einer selbstähnlichen hierarchischen Punktmenge: Die Cluster sind - als ``vergrößerte Atome'' - wiederum zu Mackaylustern angeordnet, die ihrerseits wieder größere Mackaycluster bilden und so fort. Beginnt man bei der iterativen Erzeugung der Mackayzentren mit einem Mackayzentrum der Klasse q, so sind nach zwei Iterationsstufen alle vier Klassen q, a, b und c bevölkert, und zwar mit den Anzahlen 3357, 276, 1304 und 1284.

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Abbildung 5.9: Janots Modell: Zentren der atomaren Mackaycluster nach der zweiten Inflation im internen Raum, Klassen q, a, b und c.  

Abbildung 5.9 zeigt die Punktwolken im internen Raum. Nach Elsers Modell - das in diesem Punkt im Einklang mit den Beugungsdaten steht - dürften hier ausschließlich die Punktklassen q und b bevölkert sein. Hält der Trend zur gleichmäßigen Verteilung der Atome über die Punktklassen für höhere Inflationsstufen an, so unterscheidet sich Janots Modell damit erheblich von den bisher genannten.


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