Die endgültigen Fenster und ihre Deutung

Die Fenster für das Elsermodell sind in Abbildung 5.4 zu sehen: Zu ihrer Konstruktion wurden, wie oben beschrieben, die Fenster für die unterschiedlichen Punkttypen konstruiert, nach Klassen geordnet und vereinigt. Anschließend wurden ``verbotene'' Bereiche wieder entfernt oder mit einer geringeren Punktdichte gewichtet.
Nun wollen wir das ``Innenleben'' der Fenster untersuchen. Bis jetzt wurde in der Konstruktion nur die Vereinigung verschiedener Typenfenster betrachtet. Die Schnittmengen liefern die zusätzliche Information, welche Punkte mehreren Clustern gleichzeitig angehören. Durch Vergleich mit der Dekoration der Tiles lassen sich deshalb Unterbereiche der Fenster als Fenster für bestimmte Sorten von Atompositionen deuten.
In den Abbildungen 5.6 ist das ``Innenleben'' der Fenster und zu sehen, und zwar in Form repräsentativer Unterbereiche, aus denen die vollen Fenster durch Anwendung der Ikosaedergruppe entstehen.

 
Abbildung: Das ``Innenleben'' der Fenster für q- und b-Punkte.  

• a-Fenster: -Punkte
• q-Fenster (Abbildung 5.6 a): Ein Triakontaeder in der Mitte codiert die -Punkte. Der leere Stern in der Mitte des -Fensters ist in dieses Triakontaeder einbeschrieben. Folglich codiert der Stern (0) -Punkte, der Zwischenbereich (0) die -Punkte, die gleichzeitig sind (nämlich an den flachen Ecken des OR). Über jeder Triakontaederseite erhebt sich ein Bereich, in dem sich zwei -Triakontaeder überschneiden (1,3). Hier werden die -Atome codiert, die auf der gemeinsamen Außenkante zweier Bergmancluster liegen. Darüber ein weiterer -Bereich (2) in der Form oblater Rhomboeder, und im Inneren weitere Bereiche (5,6), die ebenfalls -Punkte codieren. An der Außenseite liegt der -Bereich (4) mit Punktdichte 1/2.
• b-Fenster (Abbildung 5.6 b): im Zentrum liegt ein sternförmiger Bereich (4) . Er codiert die P-Punkte. Dann die Schale der -Punkte (1,2,3). Der Überlapp (2) von und , ein Kranz von 3 OR um jede dreizählige Achse, codiert die drei im Inneren des OR. Das -Fenster wiederum zerfällt in Teile (5,6,7) mit den Punktdichten 7/20, 4/10 bzw. 1/2, die zu verschiedenen Vertexkonfigurationen gehören. Die genauere Unterteilung ist in Abbildung 5.7 gezeigt.

Anhand der Numerierung lassen sich die Bereiche den Atompositionen in den Abbildungen 3.5 und 3.6 zuordnen. Die Unterscheidung zwischen (1) und (3) sowie zwischen (5) und (6) bei den q-Punkten und zwischen (1) und (3) sowie zwischen (6) und (7) bei den b-Punkten ist im Rahmen dieser Konstruktion nicht möglich. Eine alternative Methode der Fensterkonstruktion mit Hilfe des Tetraedertilings liefert auch diese Unterteilung und ist in [Kra97] und [Pap97] beschrieben.

 
Abbildung 5.7: Feinunterteilung der -Bereiche 5, 6 und 7  

  
Tabelle 5.2: Gewichtete Volumina der Unterbereiche

In Tabelle 5.2 finden sich die Volumina der Fenster in Einheiten von 30K - des Volumens des -skalierten Triakontaeders - sowie in Prozent des Gesamtvolumens aller Fenster. Der Gewichtung der - und - Bereiche mit den Faktoren 1/2, 4/10 und 7/20 ist hier bereits Rechnung getragen. Die relativen Volumina der Fenster gleichen, wie bereits erwähnt, den relativen Häufigkeiten der entsprechenden Atomsorten im physikalischen Raum.