Höhere Clusterschalen

  Mit Hilfe der Fenster lassen sich in Elsers Modell Schalenstrukturen um Bergmancluster und Mackaycluster finden, das heißt, ikosaedersymmetrische Punktmengen, die ganz oder teilweise mit Atomen besetzt sind. Die Schalen können große Zwischenräume aufweisen, in denen viele weitere Atome unsymmetrisch angeordnet sind.
Sie lassen sich folgendermaßen nachweisen: eine Schale, charakterisiert durch die Klasse des Zentralatoms sowie einen Verschiebungsvektor , wird gesucht. Als Verschiebungvektoren kommen die Standardvektoren , und mit -Potenzen als Vorfaktoren in Frage. Wenn das Fenster der Schalenatome eine Untermenge des Elserfensters zur entsprechenden Punktklasse ist, so ist die Schale um jedes entsprechende Zentralatom vollständig vorhanden. Neben der -Punkten (Klasse a) und den -Punkten (Klasse q) kann man auch diejenigen Punkte der anderen Klassen b und c betrachten, die durch das Triakontaeder codiert werden. Wir suchen Schalen um all diese Punktsorten. Ein verschobenes Testtriakontaeder muß also in das in Frage kommende Fenster hineinpassen. Mögliche sind in der Tabelle 5.3 aufgeführt, zusammen mit Angaben über das Auftreten von Schalen dieser Größe um Mittelpunkte der verschiedenen Klassen. Geordnet nach Klassen der Schalenatome ergeben sich folgende Fälle:

• Klasse a: Mit wachsendem geht gegen 0, bleibt aber endlich. Da das a-Fenster selber nur ein Triakontader ist, liegt das Testtriakontaeder nie vollständig im Fenster. Die Schalen werden umso vollständiger, je größer sie gewählt sind, bleiben aber immer unvollständig.
• Klasse b: In fünfzähliger Richtung liegt das Triakontaeder bei einer Verschiebung um oder kleiner vollständig im Fenster, in dreizähliger bei oder kleiner, bei zweizähliger in oder kleiner. Das entspricht im Parallelraum Zentralabständen von , , oder jeweils größeren.
• Klasse c: Keine Punkte vorhanden
• Klasse q: In fünfzähliger Richtung liegt das Triakontaeder bei einer Verschiebung um oder kleiner vollständig im Fenster, in dreizähliger bei oder kleiner, bei zweizähliger in oder kleiner. Das entspricht im Parallelraum Zentralabständen von , , oder jeweils größeren.

Die folgende Tabelle zeigt in den letzten vier Spalten noch einmal die Schalen geordnet nach den Klassen der Mittelpunkte. Neben der Klasse der Schalenatome ist jeweils der Grad der Vollständigkeit aufgeführt: ``v'' bedeutet, daß um all diese Zentren vollständige Schalen zum Verschiebungsvektor vorliegen, ``t'' bedeutet, daß teilweise gefüllte Schalen vorliegen. Wir finden natürlich die bekannten Schalen der Bergman- und Mackaycluster um a- und q-Punkte.
Man beachte nun die ungefähre Symmetrie zwischen den Klassen b und q beziehungsweise a und c im Hinblick auf die Größe der Fenster: es bilden sich eine zweite Sorte von ``b''-Mackayclustern um b-Punkte und eine zweite Sorte von ``c''-Bergmanclustern um c-Punkte. Beide Sorten von Clustern sind unvollständig. Die b-Mackaycluster wurden in Abschnitt 3 bereits erwähnt, die c-Bergmancluster finden sich im PR zwischen den drei benachbarten a-Bergmanclustern in der in Abbildung 5.10 gezeigten Konfiguration. Die vorletzte und letzte Spalte der Tabelle enthalten die entsprechenden Clusterschalen.

 
Tabelle: Höhere Clusterschalen  

 
Abbildung: Der unvollständige Bergmancluster um c-Punkte